kaoyan1basic 高等数学 第240题
📝 题目
### 第240题 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：偏导数存在仅保证沿坐标轴方向连续，即$\lim_{x\to x_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)$，$\lim_{y\to y_0}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$。 步骤2：但整体极限不一定存在，也不一定可微。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析偏导数存在的含义
偏导数存在只保证函数沿坐标轴方向连续，即一元函数 f(x, y0) 在 x0 处连续，f(x0, y) 在 y0 处连续。
公式：f_x'(x0,y0) 存在 ⇒ lim_{x→x0} f(x,y0)=f(x0,y0); f_y'(x0,y0) 存在 ⇒ lim_{y→y0} f(x0,y)=f(x0,y0)
提示：偏导数存在不能推出函数连续，只能推出沿坐标轴方向连续。
步骤 2/4
目标：判断选项A和B
A：偏导数存在不能保证函数在该点连续，反例：f(x,y)=0 当 xy=0，否则为1，在(0,0)处偏导存在但不连续。B：整体极限不一定存在，反例同上。
提示：记住经典反例。
步骤 3/4
目标：判断选项C
由偏导数存在定义，直接得到 lim_{x→x0} f(x,y0)=f(x0,y0) 和 lim_{y→y0} f(x0,y)=f(x0,y0)，因此C正确。
提示：注意C是两个极限分别等于函数值，不是二重极限。
步骤 4/4
目标：判断选项D
偏导数存在是可微的必要条件，但不是充分条件，因此不一定可微。
提示：可微需要偏导数连续或更强的条件。
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