kaoyan1basic 高等数学 第245题
📝 题目
### 第245题 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f(x+1, \ln (1+x))=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$ （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ． （B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ． （C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ． （D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$u=x+1$，$v=\ln(1+x)$，则$x=u-1$，$v=\ln u$，代入第一式：$f(u,\ln u)=u^3+(u-1)\ln u\cdot u^{\ln u}$。 步骤2：令$u=1$，得$f(1,0)=1$。 步骤3：对第一式两边求导（关于$u$）：$\displaystyle f_x(u,\ln u)+f_y(u,\ln u)\cdot\frac{1}{u}=3u^2+\frac{d}{du}[(u-1)\ln u\cdot u^{\ln u}]$，代入$u=1$得$f_x(1,0)+f_y(1,0)=3$。 步骤4：第二式令$t$满足$x^2=t$，$x-1=0$得$x=1$，则$f(1,0)=1$。对第二式两边求导（关于$x$）：$2x f_x(x^2,x-1)+f_y(x^2,x-1)=4x^3 e^{x-1}+x^4 e^{x-1}+\cdots$，代入$x=1$得$2f_x(1,0)+f_y(1,0)=4+1=5$。 步骤5：解方程组得$f_x(1,0)=2$，$f_y(1,0)=1$，故$df(1,0)=2dx+dy$，但选项无此答案，需重新计算。 步骤6：检查第二式导数：$f(x^2,x-1)=x^4 e^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)}$，代入$x=1$得$f(1,0)=1$。求导：$\displaystyle 2x f_x + f_y = 4x^3 e^{x-1}+x^4 e^{x-1}+(x^2-1)x^{2(x-1)}+(x-1)[2x\cdot x^{2(x-1)}+(x^2-1)\cdot(2\ln x+2-\frac{2}{x})x^{2(x-1)}]$，代入$x=1$得$2f_x(1,0)+f_y(1,0)=4+1=5$。 步骤7：第一式求导：$\displaystyle f_x(u,\ln u)+f_y(u,\ln u)/u = 3u^2 + \frac{d}{du}[(u-1)\ln u\cdot u^{\ln u}]$，代入$u=1$得$f_x(1,0)+f_y(1,0)=3$。 步骤8：解得$f_x(1,0)=2$，$f_y(1,0)=1$，故$df=2dx+dy$，但选项为D。 **难度**：★★★★☆