kaoyan1basic 高等数学 第244题
📝 题目
### 第244题 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle f\left(\frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)=0$两边对$x$求偏导：$\displaystyle f_u\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)+f_v\cdot\left(\frac{x z_x - z}{x^2}\right)=0$。 步骤2：对$y$求偏导：$\displaystyle f_u\cdot\frac{1}{x}+f_v\cdot\frac{z_y}{x}=0$。 步骤3：由步骤2得$f_u = -f_v z_y$，代入步骤1得$\displaystyle f_v\left(\frac{y}{x^2}z_y + \frac{x z_x - z}{x^2}\right)=0$，因$f_v$可能为0，但一般解：$y z_y + x z_x - z=0$，即$x z_x + y z_y = z$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：方程两边对x求偏导
方程 f(y/x, z/x)=0 两边对 x 求偏导，注意 z 是 x, y 的函数：f_u * (-y/x^2) + f_v * ((x * z_x - z)/x^2) = 0
公式：f_u * (-y/x^2) + f_v * ((x z_x - z)/x^2) = 0
提示：使用链式法则，注意 z 对 x 的偏导
步骤 2/3
目标：方程两边对y求偏导
方程 f(y/x, z/x)=0 两边对 y 求偏导：f_u * (1/x) + f_v * (z_y/x) = 0
公式：f_u * (1/x) + f_v * (z_y/x) = 0
提示：注意 z 对 y 的偏导
步骤 3/3
目标：消去f_u和f_v
由对y求偏导的结果得 f_u = -f_v * z_y，代入对x求偏导的结果：f_v * (y/x^2 * z_y + (x z_x - z)/x^2) = 0。由于f_v可能不为0，故括号内为0：y z_y + x z_x - z = 0，即 x z_x + y z_y = z
公式：x ∂z/∂x + y ∂z/∂y = z
提示：消去f_v时假设其非零，但结果恒成立
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