kaoyan1basic 高等数学 第243题
📝 题目
### 第243题 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ． ## （ ）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1$，对$x$积分得$f(1,y)-f(0,y)>1$；由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}<-1$，对$y$积分得$f(x,1)-f(x,0)<-1$。 步骤2：取$x=1,y=-1$，则$f(1,-1)-f(0,-1)>1$，且$f(0,-1)-f(0,0)<-1$，$f(0,0)=0$，故$f(0,-1)<-1$，从而$f(1,-1)>0$，但需具体验证选项： 步骤3：由$f(1,-1)-f(0,-1)>1$且$f(0,-1)<-1$得$f(1,-1)>0$，但选项D要求$>2$，需更精确估计。由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1$得$f(1,-1)-f(0,-1)>1$，由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}<-1$得$f(0,-1)-f(0,0)<-1$，故$f(0,-1)<-1$，则$f(1,-1)>0$，但无法直接得$>2$。重新分析： 步骤4：利用中值定理，$f(1,1)-f(0,0)=f_x(\xi_1,1)+f_y(0,\xi_2)>1-1=0$，但$f(1,1)>0$不一定$>1$。 步骤5：对于D，$f(1,-1)-f(0,0)=f_x(\xi,-1)-f_y(0,\eta)>1+1=2$，故$f(1,-1)>2$。 **难度**：★★★☆☆