kaoyan1basic 高等数学 第247题
📝 题目
### 第247题 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。 （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle 1-\cos\sqrt{x^2+y^2} \sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，故$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}=-2$，即$f(x,y) \sim -(x^2+y^2)$。 步骤2：由$f(0,0)$连续，且$f(x,y)<0$在$(0,0)$附近（除原点），故$f(0,0)$为极大值。 步骤3：偏导数存在性：由$f(x,y)=-(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$，$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{-x^2}{x}=0$存在。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用等价无穷小简化极限表达式
由于当 $t\to 0$ 时，$1-\cos t \sim \frac{1}{2}t^2$，令 $t=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $1-\cos\sqrt{x^2+y^2} \sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)$。因此，原极限化为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\frac{1}{2}(x^2+y^2)} = -2$，即 $f(x,y) \sim -(x^2+y^2)$ 在 $(0,0)$ 附近。
公式：$1-\cos t \sim \frac{1}{2}t^2$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$t\to 0$。
步骤 2/3
目标：判断极值类型
由 $f(x,y) \sim -(x^2+y^2)$ 可知，在 $(0,0)$ 附近（除原点外），$f(x,y) < 0$。又 $f(0,0)$ 连续，且由极限知 $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$（因为分母趋于0，分子必须趋于0，且极限存在）。因此，$f(0,0)=0$，而在 $(0,0)$ 附近 $f(x,y)<0$，故 $f(0,0)$ 为极大值。
提示：极值定义：若存在邻域内 $f(x,y) \leq f(0,0)$，则为极大值。
步骤 3/3
目标：判断偏导数存在性
由 $f(x,y) = -(x^2+y^2) + o(x^2+y^2)$，考虑 $f_x(0,0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{-x^2+o(x^2)}{x} = 0$，故 $f_x(0,0)$ 存在且为0。
公式：$f_x(0,0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$
提示：偏导数存在性需用定义计算，注意 $f(0,0)=0$。
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