kaoyan1basic 高等数学 第250题
📝 题目
### 第250题 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：求偏导，$f_x=2kx$，$f_y=3y^2-3$，在$(0,1)$处，$f_x=0$，$f_y=0$，故为驻点。 步骤2：求二阶偏导，$f_{xx}=2k$，$f_{yy}=6y$，$f_{xy}=0$，在$(0,1)$处，$A=2k$，$B=0$，$C=6$。 步骤3：判别式$AC-B^2=12k$。当$k>0$时，$AC-B^2>0$且$A>0$，取极小值；当$k<0$时，$AC-B^2<0$，不取极值；当$k=0$时，$AC-B^2=0$，需进一步判断。故是否取极值与$k$有关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求驻点
计算一阶偏导数：f_x = 2kx，f_y = 3y^2 - 3。令它们等于0，在点(0,1)处，f_x=0，f_y=0，所以(0,1)是驻点。
公式：f_x = 2kx, f_y = 3y^2 - 3
提示：驻点是一阶偏导数为零的点。
步骤 2/3
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：f_xx = 2k，f_yy = 6y，f_xy = 0。在点(0,1)处，A = f_xx = 2k，B = f_xy = 0，C = f_yy = 6。
公式：f_xx = 2k, f_yy = 6y, f_xy = 0
提示：注意二阶偏导数的计算要准确。
步骤 3/3
目标：应用极值判别法
计算判别式 AC - B^2 = (2k)*6 - 0^2 = 12k。根据判别式符号判断：当k>0时，AC-B^2>0且A>0，取极小值；当k<0时，AC-B^2<0，不取极值；当k=0时，AC-B^2=0，需进一步判断。因此是否取极值与k有关。
公式：AC - B^2 = 12k
提示：当AC-B^2>0且A>0时取极小值，A<0时取极大值；AC-B^2<0时无极值；AC-B^2=0时需其他方法。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。