kaoyan1basic 高等数学 第251题
📝 题目
### 第251题 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：在区域内部，$f_x=1\neq0$，$f_y=1\neq0$，故内部无驻点，最值在边界上取得。 步骤2：边界$x^2+y^2=1$，令$x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，则$\displaystyle f=1+\cos\theta+\sin\theta=1+\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$。 步骤3：最大值$1+\sqrt{2}$，最小值$1-\sqrt{2}$，乘积为$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断内部是否有极值点
计算偏导数：f_x = 1, f_y = 1。令其为零，无解，故内部无驻点，最值在边界上取得。
公式：f_x = 1, f_y = 1
提示：偏导数不为零，说明内部无临界点。
步骤 2/4
目标：参数化边界并求最值
边界为圆 x^2 + y^2 = 1，令 x = cosθ, y = sinθ，则 f = 1 + cosθ + sinθ = 1 + √2 sin(θ + π/4)。
公式：f(θ) = 1 + √2 sin(θ + π/4)
提示：利用三角恒等式 asinθ + bcosθ = √(a^2+b^2) sin(θ+φ)。
步骤 3/4
目标：计算最大值和最小值
sin(θ+π/4) ∈ [-1,1]，所以最大值 f_max = 1 + √2，最小值 f_min = 1 - √2。
公式：f_max = 1 + √2, f_min = 1 - √2
提示：正弦函数的值域为[-1,1]。
步骤 4/4
目标：计算乘积
最大值与最小值之积为 (1+√2)(1-√2) = 1 - 2 = -1。
公式：(1+√2)(1-√2) = -1
提示：平方差公式。
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