kaoyan1basic 高等数学 第252题
📝 题目
### 第252题 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x,y)=e^{-xy}$，求最大值即求$-xy$的最大值，即求$xy$的最小值。 步骤2：在区域$4x^2+y^2\leq1$内，由均值不等式，$4x^2+y^2\geq2\sqrt{4x^2y^2}=4|xy|$，故$\displaystyle |xy|\leq\frac{1}{4}$，即$\displaystyle xy\geq-\frac{1}{4}$。 步骤3：当$4x^2=y^2$且$xy<0$时取等，$xy$最小值为$\displaystyle -\frac{1}{4}$，故$f$最大值为$\displaystyle e^{\frac{1}{4}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将求函数最大值转化为求指数部分的最大值
由于 $f(x,y)=e^{-xy}$ 是单调递增函数，求 $f$ 的最大值等价于求 $-xy$ 的最大值，即求 $xy$ 的最小值。
提示：指数函数单调性
步骤 2/3
目标：利用均值不等式得到 $xy$ 的下界
在区域 $4x^2+y^2\leq 1$ 内，由均值不等式 $4x^2+y^2 \geq 2\sqrt{4x^2y^2}=4|xy|$，所以 $4|xy| \leq 1$，即 $|xy| \leq \frac{1}{4}$，从而 $xy \geq -\frac{1}{4}$。
公式：4x^2+y^2 \geq 4|xy|
提示：注意绝对值处理
步骤 3/3
目标：确定等号成立条件并求出最大值
等号成立当且仅当 $4x^2=y^2$ 且 $xy<0$，此时 $xy$ 取最小值 $-\frac{1}{4}$，故 $f$ 的最大值为 $e^{-(-1/4)}=e^{1/4}$。
提示：等号条件：$4x^2=y^2$ 且 $xy<0$
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