kaoyan1basic 高等数学 第253题
📝 题目
### 第253题 设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是 （A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：求偏导，$f_x=3x^2-8x+2y$，$f_y=2x-2y$，令其为零，解得驻点$(0,0)$和$(2,2)$（不在$D$内）。 步骤2：在$(0,0)$处，$f_{xx}=-8$，$f_{yy}=-2$，$f_{xy}=2$，$AC-B^2=(-8)(-2)-4=12>0$，且$A<0$，故为极大值点。 步骤3：比较边界值，在$x=4$，$y=0$处，$f(4,0)=64-64=0$，大于$f(0,0)=0$？计算$f(0,0)=0$，但$f(4,1)=64-64+8-1=7>0$，故$(0,0)$不是最大值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求驻点
对f(x,y)求偏导：f_x=3x^2-8x+2y，f_y=2x-2y。令f_x=0，f_y=0，解得驻点(0,0)和(2,2)。由于(2,2)不在区域D内，故只考虑(0,0)。
公式：f_x=0, f_y=0
提示：注意驻点是否在区域内
步骤 2/3
目标：判断(0,0)是否为极值点
计算二阶偏导：f_{xx}=6x-8，f_{yy}=-2，f_{xy}=2。在(0,0)处，A=f_{xx}(0,0)=-8，B=f_{xy}(0,0)=2，C=f_{yy}(0,0)=-2。判别式AC-B^2=(-8)(-2)-4=12>0，且A<0，故(0,0)是极大值点。
公式：AC-B^2 > 0 且 A<0 为极大值
提示：AC-B^2>0时，A的正负决定极值类型
步骤 3/3
目标：比较边界值判断是否为最大值点
计算f(0,0)=0。在边界上，例如x=4, y=1时，f(4,1)=64-64+8-1=7>0，故存在函数值大于0的点，因此(0,0)不是区域D上的最大值点。
公式：f(4,1)=7 > f(0,0)=0
提示：边界上的点可能取得更大值
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