kaoyan1basic 高等数学 第254题
📝 题目
### 第254题 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由极限式，$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)+4x^2-y^2}{x^4+x^2y^2+y^4}=1$，则$f(x,y)=-4x^2+y^2+o(x^4+x^2y^2+y^4)$。 步骤2：在$(0,0)$附近，$f(x,y)\approx -4x^2+y^2$，沿$y=0$，$f\approx -4x^2<0$；沿$x=0$，$f\approx y^2>0$，故$(0,0)$不是极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由极限式推导f(x,y)的近似表达式
已知极限为1，即当(x,y)→(0,0)时，分子与分母是等价无穷小，因此f(x,y)+4x^2-y^2 = x^4+x^2y^2+y^4 + o(x^4+x^2y^2+y^4)，所以f(x,y) = -4x^2+y^2 + o(x^4+x^2y^2+y^4)。
公式：f(x,y) = -4x^2+y^2 + o(x^4+x^2y^2+y^4)
提示：注意极限为1意味着分子和分母的比值的极限为1，因此分子可以写成分母加上高阶无穷小。
步骤 2/2
目标：分析f(x,y)在(0,0)附近的符号变化
在(0,0)附近，f(x,y)的主要部分为-4x^2+y^2。沿y=0方向，f(x,0)≈-4x^2<0（x≠0）；沿x=0方向，f(0,y)≈y^2>0（y≠0）。因此f在(0,0)附近既取正值又取负值，故(0,0)不是极值点。
提示：判断极值点需检查是否所有方向都同号，这里不同号，所以不是极值点。
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