kaoyan1basic 高等数学 第255题
📝 题目
### 第255题 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由均值不等式，$x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$，即$a\geq3\sqrt[3]{xyz}$，故$\displaystyle xyz\leq\frac{a^3}{27}$。 步骤2：当$\displaystyle x=y=z=\frac{a}{3}$时取等，故$b$的最小值为$\displaystyle \frac{a^3}{27}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用均值不等式建立不等式关系
由均值不等式，对于三个正数x, y, z，有x+y+z ≥ 3∛(xyz)。代入已知条件x+y+z=a，得a ≥ 3∛(xyz)。
公式：x+y+z ≥ 3∛(xyz)
提示：注意均值不等式取等条件为x=y=z。
步骤 2/3
目标：推导xyz的上界
由a ≥ 3∛(xyz)两边立方得a³ ≥ 27xyz，即xyz ≤ a³/27。
公式：xyz ≤ a³/27
提示：立方时注意不等号方向不变。
步骤 3/3
目标：确定b的最小值
由题意xyz ≤ b，且b需使不等式恒成立，故b的最小值应为xyz的最大可能值，即a³/27。当x=y=z=a/3时取等。
提示：b的最小值对应xyz的最大值。
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