kaoyan1basic 高等数学 第257题
📝 题目
### 第257题 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：第一个积分区域：$0\leq x\leq1$，$x\leq y\leq1$；第二个积分区域：$1\leq y\leq2$，$0\leq x\leq2-y$。 步骤2：合并区域，$x$从0到1，$y$从$x$到$2-x$，故累次积分为$\int_0^1 dx\int_x^{2-x}f(x,y)dy$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析第一个积分区域
第一个积分：∫_{0}^{1} dx ∫_{x}^{1} f(x,y) dy，对应区域：x从0到1，y从x到1，即由直线y=x, y=1, x=0围成的三角形区域。
提示：注意积分次序：先y后x。
步骤 2/4
目标：分析第二个积分区域
第二个积分：∫_{1}^{2} dy ∫_{0}^{2-y} f(x,y) dx，对应区域：y从1到2，x从0到2-y，即由直线x=0, x=2-y, y=1, y=2围成的三角形区域。
提示：注意积分次序：先x后y。
步骤 3/4
目标：合并积分区域
两个区域合并后，整体区域由直线y=x, y=2-x, x=0, y=1围成，但注意x的范围：第一个区域x∈[0,1]，第二个区域x∈[0,1]（因为当y∈[1,2]时，x=2-y∈[0,1]），所以x从0到1。y的下界为x，上界为2-x。因此合并后积分可写为∫_{0}^{1} dx ∫_{x}^{2-x} f(x,y) dy。
提示：画出区域图有助于理解。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
对比选项，选项C为∫_{0}^{1} dx ∫_{x}^{2-x} f(x,y) dy，与结果一致。
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