kaoyan1basic 高等数学 第258题
📝 题目
### 第258题 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：极坐标下，$r$从$\displaystyle \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$到1，$\theta$从0到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，对应直角坐标：$r=1$即$x^2+y^2=1$，$\displaystyle r=\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$即$x+y=1$。 步骤2：区域为$x\geq0$，$y\geq0$，$x+y\geq1$，$x^2+y^2\leq1$，直角坐标下积分$\int_0^1 dx\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)dy$，但极坐标积分元为$rdrd\theta$，化为直角坐标需除以$\sqrt{x^2+y^2}$，故答案为B。 **难度**：★★★★☆