kaoyan1basic 高等数学 第259题
📝 题目
### 第259题 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：极坐标下，$r$从0到$2\sin\theta$，$\theta$从0到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，对应直角坐标：$r=2\sin\theta$即$r^2=2r\sin\theta$，$x^2+y^2=2y$，即$x^2+(y-1)^2=1$。 步骤2：区域为$x\geq0$，$y\geq0$，且$x^2+(y-1)^2\leq1$，即$y\leq1+\sqrt{1-x^2}$，但$y$从0到$\sqrt{2x-x^2}$，故直角坐标积分为$\int_0^2 dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y)dy$。 **难度**：★★★☆☆