kaoyan1basic 高等数学 第260题
📝 题目
### 第260题 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：积分区域：$0\leq x\leq1$，$x^2\leq y\leq1$，交换积分次序：$0\leq y\leq1$，$0\leq x\leq\sqrt{y}$。 步骤2：$\displaystyle I=\int_0^1 dy\int_0^{\sqrt{y}}\frac{xy}{\sqrt{1+y^3}}dx=\int_0^1\frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\cdot\frac{1}{2}y dy=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}}dy$。 步骤3：令$u=1+y^3$，$du=3y^2dy$，$\displaystyle y^2dy=\frac{1}{3}du$，$y$从0到1，$u$从1到2，$\displaystyle I=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{1}{3}u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{1}{6}\cdot2(\sqrt{2}-1)=\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★★☆☆