kaoyan1basic 高等数学 第261题
📝 题目
### 第261题 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：区域$D$由$y=x$，$y=x+1$，$y=1$，$y=3$围成，可表示为$1\leq y\leq3$，$y-1\leq x\leq y$。 步骤2：$\displaystyle \iint_D y d\sigma=\int_1^3 dy\int_{y-1}^y y dx=\int_1^3 y\cdot1 dy=\frac{1}{2}(9-1)=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分区域并化为累次积分
区域D由直线y=x, y=x+1, y=1, y=3围成。选择先对x后对y积分：y从1到3，x从y-1到y。
公式：D: 1≤y≤3, y-1≤x≤y
提示：注意边界直线方程，确定x的范围时用y表示x。
步骤 2/2
目标：计算二重积分
将二重积分化为累次积分：∫_{y=1}^{3} ∫_{x=y-1}^{y} y dx dy。先对x积分，y视为常数：∫_{x=y-1}^{y} y dx = y * (y - (y-1)) = y * 1 = y。再对y积分：∫_{1}^{3} y dy = (1/2)y^2|_{1}^{3} = (1/2)(9-1)=4。
公式：∬_D y dσ = ∫_1^3 y dy ∫_{y-1}^y dx = ∫_1^3 y dy = 4
提示：注意积分次序，先积x时y视为常数。
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