kaoyan1basic 高等数学 第262题
📝 题目
### 第262题 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ． （4）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：区域$D$：$x^2+y^2\leq2x+2y$，即$(x-1)^2+(y-1)^2\leq2$，为圆心$(1,1)$，半径$\sqrt{2}$的圆。 步骤2：令$u=x-1$，$v=y-1$，则$D$变为$u^2+v^2\leq2$，被积函数$x^2+xy+y^2=(u+1)^2+(u+1)(v+1)+(v+1)^2=u^2+uv+v^2+3u+3v+3$。 步骤3：由对称性，$u$和$v$的奇次项积分为0，$\displaystyle \iint_D(u^2+v^2)d\sigma=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}}r^2\cdot r dr=2\pi\cdot\frac{1}{4}(\sqrt{2})^4=2\pi$，$\iint_D uv d\sigma=0$，$\iint_D 3 d\sigma=3\cdot2\pi=6\pi$，总和为$2\pi+6\pi=8\pi$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简积分区域D
将不等式 x^2+y^2 ≤ 2x+2y 化为标准形式：x^2-2x+y^2-2y ≤ 0，即 (x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2。因此区域D是以(1,1)为圆心、半径√2的圆盘。
公式：(x-1)^2+(y-1)^2 ≤ 2
提示：注意配方时一次项系数的一半平方。
步骤 2/5
目标：坐标平移简化计算
令 u=x-1, v=y-1，则区域D变为 u^2+v^2 ≤ 2。被积函数 x^2+xy+y^2 用u,v表示：x=u+1, y=v+1，代入得 (u+1)^2+(u+1)(v+1)+(v+1)^2 = u^2+uv+v^2+3u+3v+3。
公式：x^2+xy+y^2 = u^2+uv+v^2+3u+3v+3
提示：展开时注意合并同类项。
步骤 3/5
目标：利用对称性计算积分
由于区域关于u和v轴对称，且被积函数中u和v的奇次项3u和3v的积分为0。因此只需计算三项：∬(u^2+v^2)dσ, ∬uv dσ, ∬3 dσ。其中∬uv dσ=0（奇函数对称性），∬3 dσ=3×面积=3×2π=6π。
公式：∬_D 3 dσ = 3 × π(√2)^2 = 6π
提示：圆盘面积公式：πr^2。
步骤 4/5
目标：计算∬(u^2+v^2)dσ
使用极坐标：u=r cosθ, v=r sinθ，则u^2+v^2=r^2，dσ=r dr dθ，积分区域r从0到√2，θ从0到2π。积分得 ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{√2} r^2·r dr = 2π × (1/4)(√2)^4 = 2π × 1 = 2π。
公式：∬(u^2+v^2)dσ = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^{√2} r^3 dr = 2π
提示：注意r^3的原函数是r^4/4。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
总积分 = 2π + 0 + 6π = 8π。对应选项B。
公式：∬(x^2+xy+y^2)dσ = 8π
提示：检查计算是否有误。
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