kaoyan1basic 高等数学 第264题

**答案**：B **解析**： 步骤1：区域$D$关于$x$轴和$y$轴对称，被积函数$|xy|$为偶函数，故可只考虑第一象限部分$D_1$，再乘以4。$D_1$由$x\ge0,y\ge0,0\le x\le1,0\le y\le1$且$x^2+y^2\ge x$围成。 步骤2：在$D_1$内，$x^2+y^2\ge x$即$\displaystyle (x-\frac12)^2+y^2\ge\frac14$，为圆外区域。$D_1$为正方形减去圆内部分。 步骤3：计算 $$ \iint_{D_1}xy\,dx\,dy=\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy-\iint_{x^2+y^2\le x, x\ge0,y\ge0}xy\,dx\,dy. $$ 第一部分：$\displaystyle \int_0^1 x\,dx\int_0^1 y\,dy=\frac14$。 第二部分：极坐标，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，圆$x^2+y^2=x$即$r=\cos\theta$，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，$r$从$0$到$\cos\theta$， $$ \iint xy\,dx\,dy=\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}r^3\cos\theta\sin\theta\,dr=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\cdot\frac{\cos^4\theta}{4}d\theta=\frac14\int_0^{\pi/2}\cos^5\theta\sin\theta\,d\theta=\frac14\cdot\frac16=\frac1{24}. $$ 故$\displaystyle \iint_{D_1}xy\,dx\,dy=\frac14-\frac1{24}=\frac5{24}$，乘以4得$\displaystyle \frac56$。但选项为$\displaystyle \frac{11}{12}$，需检查。 步骤4：注意区域$D$包含$x$负半轴部分，对称性正确，但计算有误。重新计算： $$ \iint_{D_1}xy\,dx\,dy=\int_0^1 x\,dx\int_{\sqrt{x-x^2}}^1 y\,dy=\int_0^1 x\cdot\frac12(1-(x-x^2))dx=\frac12\int_0^1(x-x^2+x^3)dx=\frac12\left(\frac12-\frac13+\frac14\right)=\frac12\cdot\frac{5}{12}=\frac5{24}. $$ 乘以4得$\displaystyle \frac56$，但选项B为$\displaystyle \frac{11}{12}$，说明区域理解有误。原区域$|x|\le1,|y|\le1$且$x^2+y^2\ge x$，注意$x$可负，圆$\displaystyle (x-\frac12)^2+y^2\ge\frac14$在$x$负半轴全部满足，故$D$为整个正方形减去圆内部分。正方形面积4，圆面积$\displaystyle \pi(\frac12)^2=\frac{\pi}{4}$，但圆内部分在正方形内面积需计算。圆与正方形交集：圆$\displaystyle (x-\frac12)^2+y^2\le\frac14$，圆心$\displaystyle (\frac12,0)$，半径$\displaystyle \frac12$，与正方形$[0,1]\times[-1,1]$相交，实际圆完全在$x\ge0$内，故圆内部分面积为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。则$\iint_D|xy|dxdy$等于正方形上积分减去圆内积分。正方形上$\iint_{|x|\le1,|y|\le1}|xy|dxdy=4\int_0^1 xdx\int_0^1 ydy=1$。圆内积分：极坐标，$r$从$0$到$\cos\theta$，$\theta$从$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，被积函数$|xy|=r^2|\cos\theta\sin\theta|$，由对称性，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$乘以2， $$ \iint_{圆内}|xy|dxdy=2\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{\cos\theta}r^3\cos\theta\sin\theta\,dr=2\cdot\frac1{24}=\frac1{12}. $$ 故$\displaystyle I=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$。 **难度**：★★★☆☆