kaoyan1basic 高等数学 第265题
📝 题目
### 第265题 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=\sqrt{x}$，$y=1$及$y$轴围成，即$x$从$0$到$y^2$，$y$从$0$到$1$。 步骤2：交换积分次序： $$ \iint_D\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-y^2}dxdy=\int_0^1 e^{-y^2}dy\int_0^{y^2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_0^1 e^{-y^2}\cdot2\sqrt{x}\Big|_0^{y^2}dy=\int_0^1 e^{-y^2}\cdot2y\,dy. $$ 步骤3：令$t=y^2$，$dt=2y\,dy$，积分限$t=0$到$1$， $$ \int_0^1 e^{-t}dt=-e^{-t}\Big|_0^1=1-\frac1e. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域并交换积分次序
区域D由y=√x，y=1及y轴围成，即x从0到y^2，y从0到1。交换积分次序：∬_D (1/√x)e^{-y^2} dxdy = ∫_0^1 e^{-y^2} dy ∫_0^{y^2} dx/√x。
公式：∫_0^{y^2} dx/√x = 2√x|_0^{y^2} = 2y
提示：注意积分区域边界曲线方程，正确确定积分限。
步骤 2/3
目标：计算内层积分
计算∫_0^{y^2} dx/√x = 2√x|_0^{y^2} = 2y，代入得原积分=∫_0^1 e^{-y^2}·2y dy。
公式：∫ dx/√x = 2√x + C
提示：注意积分变量为x，y视为常数。
步骤 3/3
目标：换元积分
令t=y^2，则dt=2y dy，积分限y从0到1对应t从0到1，原积分=∫_0^1 e^{-t} dt = -e^{-t}|_0^1 = 1 - 1/e。
公式：∫ e^{-t} dt = -e^{-t} + C
提示：换元后注意更新积分上下限。
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