kaoyan1basic 高等数学 第266题
📝 题目
### 第266题 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=x$与$y^2=x$围成，交点$(0,0)$和$(1,1)$。 步骤2：先对$x$积分，$x$从$y^2$到$y$，$y$从$0$到$1$， $$ \iint_D\frac{\sin\pi y}{y}d\sigma=\int_0^1\frac{\sin\pi y}{y}dy\int_{y^2}^y dx=\int_0^1\frac{\sin\pi y}{y}(y-y^2)dy=\int_0^1\sin\pi y\,(1-y)dy. $$ 步骤3：计算 $$ \int_0^1\sin\pi y\,dy=\frac{2}{\pi},\quad \int_0^1 y\sin\pi y\,dy=\frac{1}{\pi}, $$ 故原式$\displaystyle =\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi}=\frac{1}{\pi}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域D并画出草图
曲线y=x与y^2=x的交点为(0,0)和(1,1)。区域D由这两条曲线围成，在x∈[0,1]内，y从x到√x；或y∈[0,1]内，x从y^2到y。
提示：注意选择积分次序，本题先对x积分较简单。
步骤 2/3
目标：将二重积分化为累次积分
选择先对x后对y积分：x从y^2到y，y从0到1。则∬_D (sinπy)/y dσ = ∫_0^1 (sinπy)/y dy ∫_{y^2}^y dx = ∫_0^1 (sinπy)/y (y - y^2) dy = ∫_0^1 sinπy (1 - y) dy。
公式：∫_{y^2}^y dx = y - y^2
提示：注意被积函数中y在分母，先对x积分可避免复杂积分。
步骤 3/3
目标：计算定积分∫_0^1 sinπy (1-y) dy
拆分为两个积分：∫_0^1 sinπy dy - ∫_0^1 y sinπy dy。计算：∫_0^1 sinπy dy = [-cosπy/π]_0^1 = (1/π + 1/π) = 2/π；∫_0^1 y sinπy dy = [ -y cosπy/π + sinπy/π^2 ]_0^1 = (1/π + 0) - (0+0) = 1/π。所以原式 = 2/π - 1/π = 1/π。
公式：∫ sinπy dy = -cosπy/π；∫ y sinπy dy = -y cosπy/π + sinπy/π^2
提示：使用分部积分法计算∫ y sinπy dy。
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