kaoyan1basic 高等数学 第267题
📝 题目
### 第267题 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域关于$x$轴和$y$轴对称，被积函数$(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|})$为偶函数，故只考虑第一象限部分$D_1$，乘以4。$D_1$由$\sqrt{x}+\sqrt{y}\le1$，$x\ge0,y\ge0$围成。 步骤2：令$u=\sqrt{x}$，$v=\sqrt{y}$，则$x=u^2$，$y=v^2$，雅可比行列式$J=4uv$，区域变为$u\ge0,v\ge0,u+v\le1$。 步骤3： $$ I=4\iint_{D_1}(\sqrt{x}+\sqrt{y})dxdy=4\iint_{u+v\le1,u,v\ge0}(u+v)\cdot4uv\,du\,dv=16\int_0^1 du\int_0^{1-u}uv(u+v)dv. $$ 步骤4：先对$v$积分， $$ \int_0^{1-u}uv(u+v)dv=u\int_0^{1-u}(u v+v^2)dv=u\left[u\cdot\frac{(1-u)^2}{2}+\frac{(1-u)^3}{3}\right]=u(1-u)^2\left(\frac{u}{2}+\frac{1-u}{3}\right). $$ 化简得$\displaystyle u(1-u)^2\frac{u+2}{6}$，再对$u$积分， $$ \frac16\int_0^1 u(1-u)^2(u+2)du=\frac16\int_0^1 (u^2+2u)(1-2u+u^2)du=\frac16\int_0^1 (u^2+2u-2u^3-4u^2+u^4+2u^3)du=\frac16\int_0^1 (2u-3u^2+u^4)du=\frac16\left(1-1+\frac15\right)=\frac1{30}. $$ 乘以16得$\displaystyle \frac{16}{30}=\frac{8}{15}$。 **难度**：★★★☆☆