kaoyan1basic 高等数学 第268题
📝 题目
### 第268题 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：区域$D$为圆环$1\le x^2+y^2\le9$被直线$x=\sqrt{3}y$和$y=\sqrt{3}x$所截部分。直线$x=\sqrt{3}y$即$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$，$y=\sqrt{3}x$即$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$，故$\theta$从$\displaystyle \frac{\pi}{6}$到$\displaystyle \frac{\pi}{3}$。 步骤2：极坐标，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$\displaystyle \arctan\frac{y}{x}=\theta$，$r$从$1$到$3$。 步骤3： $$ I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\theta\,d\theta\int_1^3 r\,dr=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\theta\,d\theta\cdot\frac12(9-1)=4\int_{\pi/6}^{\pi/3}\theta\,d\theta=4\cdot\frac12\left(\frac{\pi^2}{9}-\frac{\pi^2}{36}\right)=2\cdot\frac{\pi^2}{12}=\frac{\pi^2}{6}. $$ **难度**：★★☆☆☆