kaoyan1basic 高等数学 第271题
📝 题目
### 第271题 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：区域$D$由$\displaystyle x+y=\frac12$，$x+y=1$及坐标轴围成，即$x\ge0,y\ge0$，且$\displaystyle \frac12\le x+y\le1$。 步骤2：令$t=x+y$，则$\displaystyle t\in[\frac12,1]$。在$D$上，$t$的范围，比较函数$\ln t^3=3\ln t$，$t^3$，$\sin t^3$。当$\displaystyle t\in[\frac12,1]$时，$\displaystyle t^3\in[\frac18,1]$，$\ln t^3\le0$，$\sin t^3>0$（因为$t^3\le1<\pi$），且$t^3>\sin t^3$（因为$x>\sin x$在$x>0$）。故$\ln t^3<0<\sin t^3
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域D的范围
区域D由直线x+y=1/2, x+y=1以及坐标轴x=0, y=0围成，且x≥0, y≥0，因此x+y的取值范围是[1/2, 1]。
公式：1/2 ≤ x+y ≤ 1
提示：注意坐标轴的限制，确保变量非负。
步骤 2/3
目标：比较被积函数在区域上的大小
令t=x+y，则t∈[1/2,1]。比较三个函数：ln(t^3)=3ln t，t^3，sin(t^3)。由于t∈[1/2,1]，t^3∈[1/8,1]。ln(t^3)≤0（因为t≤1时ln t≤0），sin(t^3)>0（因为t^3≤1<π），且t^3 > sin(t^3)（因为x>sin x对x>0成立）。因此ln(t^3) < 0 < sin(t^3) < t^3。
公式：ln(t^3) < 0 < sin(t^3) < t^3
提示：利用常用不等式：x>0时，x>sin x。
步骤 3/3
目标：利用积分保序性比较积分值
由于被积函数在区域D上满足ln(x+y)^3 < sin(x+y)^3 < (x+y)^3，且区域D面积大于0，根据积分保序性，有I1 < I3 < I2。
公式：I1 < I3 < I2
提示：积分保序性：若f(x)≤g(x)在区域上，则∫f≤∫g。
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