kaoyan1basic 高等数学 第272题
📝 题目
### 第272题 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle I_i=\iint_{D_i}[1-(x^2+\frac12 y^2)]d\sigma$，被积函数$\displaystyle f(x,y)=1-x^2-\frac12 y^2$。 步骤2：$D_1$为单位圆，$D_2$为半径$\sqrt{2}$的圆，$D_3$为椭圆$\displaystyle \frac12 x^2+y^2\le1$，$D_4$为椭圆$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$。 步骤3：$f(x,y)$在原点取最大值1，向外递减。积分值取决于区域与$f$正负部分。$f(x,y)\ge0$的区域为$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$，即$D_3$恰好是$f\ge0$的区域，而$D_4$是$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$的另一种形式？注意$D_3$：$\displaystyle \frac12 x^2+y^2\le1$，$D_4$：$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$，两者不同。$f\ge0$的区域是$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$，即$D_4$？因为$\displaystyle f=1-x^2-\frac12 y^2\ge0$等价于$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$，这正是$D_4$。而$D_3$是$\displaystyle \frac12 x^2+y^2\le1$，即$f$在$D_3$上可能为负。 步骤4：$D_1$单位圆内，$\displaystyle x^2+\frac12 y^2\le1$不一定成立，部分区域$f$为负。$D_2$更大，负值更多。$D_4$恰好是$f\ge0$的区域，故积分最大。$D_3$是另一个椭圆，$f$在$D_3$上部分为负，故$I_3