kaoyan1basic 高等数学 第273题
📝 题目
### 第273题 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由积分中值定理，存在$(\xi,\eta)\in x^2+y^2\le r^2$，使得 $$ \iint_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)dxdy=f(\xi,\eta)\cdot\pi r^2. $$ 步骤2：当$r\to0^+$时，$(\xi,\eta)\to(0,0)$，$f(\xi,\eta)\to f(0,0)$。 步骤3：分母$g(r^2)$，由$g(0)=0$，$g'(0)=a\neq0$，则$g(r^2)\sim a r^2$（$r\to0$）。 步骤4：极限 $$ \lim_{r\to0^+}\frac{f(\xi,\eta)\pi r^2}{g(r^2)}=\frac{\pi f(0,0)}{a}. $$ **难度**：★★☆☆☆