kaoyan1basic 高等数学 第274题
📝 题目
### 第274题 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于 （A）$x y$ ． （B） $2 x y$ ． （C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ． （D）$x y+1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：设$A=\iint_D f(u,v)dudv$，则$f(x,y)=xy+A$。 步骤2：两边在$D$上积分， $$ A=\iint_D (xy+A)dxdy=\iint_D xy\,dxdy+A\cdot\text{面积}(D). $$ 步骤3：$D$由$y=0$，$y=x^2$，$x=1$围成，面积$\displaystyle \int_0^1 x^2 dx=\frac13$。 $$ \iint_D xy\,dxdy=\int_0^1 x\,dx\int_0^{x^2} y\,dy=\int_0^1 x\cdot\frac{x^4}{2}dx=\frac12\int_0^1 x^5 dx=\frac1{12}. $$ 步骤4：代入得$\displaystyle A=\frac1{12}+\frac13 A$，解得$\displaystyle A=\frac18$，故$\displaystyle f(x,y)=xy+\frac18$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设常数A表示二重积分
设 $A = \iint_D f(u,v) \, du \, dv$，则 $f(x,y) = xy + A$。
提示：注意积分区域D与变量无关，因此二重积分是一个常数。
步骤 2/6
目标：在区域D上对等式两边积分
对 $f(x,y) = xy + A$ 两边在D上积分：$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_D (xy + A) \, dxdy$。左边即为A，右边拆为 $\iint_D xy \, dxdy + A \cdot \text{面积}(D)$。
公式：$A = \iint_D xy \, dxdy + A \cdot S_D$
提示：积分区域D由 $y=0, y=x^2, x=1$ 围成，注意积分次序。
步骤 3/6
目标：计算区域D的面积
区域D：$0 \le x \le 1$，$0 \le y \le x^2$。面积 $S_D = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$。
公式：$S_D = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
步骤 4/6
目标：计算二重积分 $\iint_D xy \, dxdy$
化为累次积分：$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^1 x \, dx \int_0^{x^2} y \, dy = \int_0^1 x \cdot \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^5 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$。
公式：$\iint_D xy \, dxdy = \frac{1}{12}$
提示：先对y积分，再对x积分。
步骤 5/6
目标：解出常数A
代入得 $A = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}A$，移项得 $A - \frac{1}{3}A = \frac{1}{12}$，即 $\frac{2}{3}A = \frac{1}{12}$，解得 $A = \frac{1}{8}$。
公式：$A = \frac{1}{8}$
提示：注意解方程时不要出错。
步骤 6/6
目标：得到f(x,y)表达式
将 $A = \frac{1}{8}$ 代入 $f(x,y) = xy + A$，得 $f(x,y) = xy + \frac{1}{8}$。
公式：$f(x,y) = xy + \frac{1}{8}$
提示：对应选项C。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。