kaoyan1basic 高等数学 第275题

**答案**：C **解析**： 步骤1：$g(x)$是$f(x)$的反函数，且$f(1)=0$，则$g(0)=1$。 步骤2：交换积分次序，$\int_0^1 dx\int_0^{f(x)} g(t)dt$，积分区域：$x$从$0$到$1$，$t$从$0$到$f(x)$。由于$f(1)=0$，且$f$可微，区域可表示为$t$从$0$到某值，$x$从$g(t)$到$1$？注意$f(x)$单调？题目未说明单调，但反函数存在，故$f$单调。不妨设$f$单调递减（因为$f(1)=0$，且反函数存在），则$t=f(x)$时$x=g(t)$，$t$从$0$到$f(0)$？但$f(0)$未知。由积分限，$x\in[0,1]$，$t\in[0,f(x)]$，由于$f(1)=0$，$f(x)\ge0$？需假设$f(x)\ge0$。交换次序得 $$ \int_0^1 dx\int_0^{f(x)} g(t)dt=\iint_{0\le x\le1,0\le t\le f(x)}g(t)dxdt=\int_0^{f(0)} g(t)dt\int_{x=g(t)}^{1}dx=\int_0^{f(0)} g(t)(1-g(t))dt. $$ 步骤3：利用已知条件$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac{2023}{2}$。令$u=f(x)$，则$x=g(u)$，$dx=g'(u)du$，$x$从$0$到$1$对应$u$从$f(0)$到$0$， $$ \int_0^1 x f(x)dx=\int_{f(0)}^0 g(u)\cdot u\cdot g'(u)du=-\int_0^{f(0)} u g(u)g'(u)du. $$ 步骤4：分部积分，$\int u g g' du$，注意$\displaystyle \frac{d}{du}(g^2)=2gg'$，故 $$ -\int_0^{f(0)} u\cdot\frac12\frac{d}{du}(g^2)du=-\frac12\left[u g^2\Big|_0^{f(0)}-\int_0^{f(0)} g^2 du\right]=-\frac12\left[f(0)\cdot1^2-0-\int_0^{f(0)} g^2 du\right]=\frac12\int_0^{f(0)} g^2 du-\frac12 f(0). $$ 步骤5：而原积分$\int_0^{f(0)} g(t)(1-g(t))dt=\int_0^{f(0)} g dt-\int_0^{f(0)} g^2 dt$。由步骤4，$\displaystyle \int_0^{f(0)} g^2 dt=2\cdot\frac{2023}{2}+f(0)=2023+f(0)$，故原积分$=\int_0^{f(0)} g dt-(2023+f(0))$。又$\int_0^{f(0)} g dt$表示面积，由$g(0)=1$，且$g$为反函数，$\int_0^{f(0)} g dt$等于$\int_0^1 x dx$？实际上，$\int_0^{f(0)} g(t)dt$是曲线下面积，而$f$与$g$互为反函数，$\int_0^{f(0)} g(t)dt+\int_0^1 f(x)dx=1\cdot f(0)$？由反函数性质，$\int_0^{f(0)} g(t)dt+\int_0^1 f(x)dx=1\cdot f(0)$，但$f(0)$未知。由已知条件无法直接求，但注意到原积分可化为$\int_0^1 dx\int_0^{f(x)} g(t)dt$，利用分部积分或直接计算： $$ \int_0^1 dx\int_0^{f(x)} g(t)dt=\int_0^1 [x f(x)]'? 实际上，\frac{d}{dx}\int_0^{f(x)} g(t)dt=g(f(x))f'(x)=x f'(x)，故原积分=\int_0^1 x f'(x)dx. $$ 步骤6：分部积分，$\int_0^1 x f'(x)dx=x f(x)\Big|_0^1-\int_0^1 f(x)dx=1\cdot0-0\cdot f(0)-\int_0^1 f(x)dx=-\int_0^1 f(x)dx$。 步骤7：由已知$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac{2023}{2}$，无法直接得$\int_0^1 f(x)dx$。但注意原积分与已知条件关系，可能通过对称性。另一种方法：令$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则原积分$=\int_0^1 x f'(x)dx$，而$\int_0^1 x f(x)dx$已知，两者无直接关系。需重新审视。 步骤8：实际上，由$f(1)=0$，且$g$为反函数，有$\int_0^1 f(x)dx+\int_0^{f(0)} g(y)dy=1\cdot f(0)$。而原积分$=\int_0^1 x f'(x)dx=1\cdot f(1)-0\cdot f(0)-\int_0^1 f(x)dx=-\int_0^1 f(x)dx$。故原积分$=-\int_0^1 f(x)dx$。又由已知，$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac{2023}{2}$，无法直接得$\int_0^1 f(x)dx$。但注意到选项为整数，可能$\int_0^1 f(x)dx=-2023$？则原积分$=2023$。验证：若$f(x)=2023(1-x)$，则$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=2023\int_0^1 (x-x^2)dx=2023\cdot\frac16$，不是$\displaystyle \frac{2023}{2}$。故需精确计算。 步骤9：利用反函数积分公式，$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac12\int_0^1 f(x)dx$？不对。实际上，由$f(1)=0$，分部积分$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac12 x^2 f(x)\Big|_0^1-\frac12\int_0^1 x^2 f'(x)dx=-\frac12\int_0^1 x^2 f'(x)dx$。而原积分$=\int_0^1 x f'(x)dx$，两者不同。 步骤10：直接计算原积分：交换次序得$\int_0^1 dx\int_0^{f(x)} g(t)dt=\int_0^{f(0)} g(t)dt\int_{g(t)}^1 dx=\int_0^{f(0)} g(t)(1-g(t))dt$。又由$g(0)=1$，且$\int_0^{f(0)} g(t)dt$为面积，而$\int_0^1 f(x)dx$为另一面积，两者关系为$\int_0^{f(0)} g(t)dt+\int_0^1 f(x)dx=1\cdot f(0)$。故原积分$=f(0)-\int_0^1 f(x)dx-\int_0^{f(0)} g^2(t)dt$。又由已知，$\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac{2023}{2}$，通过变量代换$u=f(x)$，得$\int_0^{f(0)} g(u)u g