kaoyan1basic 高等数学 第616题
📝 题目
### 第616题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 已知级数 $\sum u_n$ 条件收敛，即 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum |u_n|$ 发散。 考虑 $$ u_n + |u_n| = \begin{cases} 2u_n, & u_n \ge 0 \\ 0, & u_n < 0 \end{cases} $$ 这相当于只取正项的部分，而负项被消去。由于原级数条件收敛，正项部分的和是发散的（否则原级数绝对收敛），因此 $\sum (u_n + |u_n|)$ 发散。 同理， $$ u_n - |u_n| = \begin{cases} 0, & u_n \ge 0 \\ 2u_n, & u_n < 0 \end{cases} $$ 只取负项部分，其和也发散（因为负项部分的和发散到 $-\infty$）。 但注意，这里需要更细致的分析：条件收敛意味着正项部分和负项部分分别发散，但它们的和收敛。因此 $\sum (u_n + |u_n|)$ 发散（正项部分发散），而 $\sum (u_n - |u_n|)$ 收敛？ 实际上，由条件收敛可知，$\sum u_n$ 收敛，$\sum |u_n|$ 发散。 设 $a_n = u_n + |u_n|$，$b_n = u_n - |u_n|$。 则 $a_n \ge 0$，且 $a_n = 2\max(u_n, 0)$。若 $\sum a_n$ 收敛，则正项部分收敛，结合 $\sum u_n$ 收敛可得负项部分也收敛，从而绝对收敛，矛盾。故 $\sum a_n$ 发散。 而 $b_n \le 0$，且 $b_n = 2\min(u_n, 0)$。同理，若 $\sum b_n$ 收敛，则负项部分收敛，也会导致绝对收敛，矛盾。故 $\sum b_n$ 也发散。 因此两者都发散，选B。 但注意：原题中条件收敛意味着正负项各自发散，所以两个级数都发散。 **难度**：★★☆☆☆