kaoyan1basic 高等数学 第617题
📝 题目
### 第617题 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\sum u_n$条件收敛，则$\sum u_n$收敛而$\sum|u_n|$发散。考虑$u_n+|u_n|$：当$u_n\geq0$时，$u_n+|u_n|=2u_n$；当$u_n<0$时，$u_n+|u_n|=0$。故$\sum(u_n+|u_n|)=2\sum_{u_n\geq0}u_n$，由$\sum u_n$条件收敛知正部发散，故$\sum(u_n+|u_n|)$发散。类似地，$u_n-|u_n|$：当$u_n\leq0$时，$u_n-|u_n|=2u_n$；当$u_n>0$时，$u_n-|u_n|=0$，故$\sum(u_n-|u_n|)=2\sum_{u_n<0}u_n$，负部收敛，故$\sum(u_n-|u_n|)$收敛。 **难度**：★★★☆☆