kaoyan1basic 高等数学 第618题
📝 题目
### 第618题 现有关于级数的如下四个结论： （1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． 其中正确的是 （A）（1），（2）． （B）（1），（3）． （C）（3），（4）． （D）（2），（4）．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：对于(1)，反例：$\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$，满足$a_n>0$且$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$，但$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散，故(1)错误。 步骤2：对于(2)，由$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$，存在$N$使得$n>N$时$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}>1$，即$a_{n+1}>a_n$，通项不趋于0，故级数发散，(2)正确。 步骤3：对于(3)，反例：$a_n = (-1)^{n-1}$，则$a_{2n-1}+a_{2n}=0$，$\sum_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，故(3)错误。 步骤4：对于(4)，由$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛得$a_n\to0$，设$\lim_{n\to\infty} n a_n = l$，若$l>0$，则$\displaystyle a_n \sim \frac{l}{n}$，与收敛矛盾，故$l=0$，(4)正确。 综上，正确的是(2)(4)。 **难度**：★★☆☆☆