kaoyan1basic 高等数学 第619题
📝 题目
### 第619题 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中 （1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。 （2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 正确的是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（4），（1）． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：对于(1)，$\sum a_n$收敛，则$S_n$有界且趋于常数$S>0$，$S_n a_n \sim S a_n$，由比较判别法知$\sum S_n a_n$发散（因$\sum a_n$收敛但$S_n a_n$不趋于0？需严格分析：$S_n a_n$通项不趋于0，因为$S_n\to S>0$，$a_n\to0$，但$S_n a_n$与$a_n$同阶，$\sum a_n$收敛不能保证$\sum S_n a_n$收敛，反例：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}$，$S_n$有界，$\displaystyle S_n a_n \sim \frac{\pi^2}{6n^2}$，收敛，故(1)错误。 步骤2：对于(2)，若$\sum a_n$收敛，则$S_n$递增有上界，$S_n\to S>0$，$\displaystyle \frac{a_n}{S_n} \leq \frac{a_n}{S_1}$，但比较法不能直接得收敛；实际上，由$\displaystyle \frac{a_n}{S_n} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}$，可证$\displaystyle \sum \frac{a_n}{S_n}$收敛（利用积分判别法或Cauchy凝聚），故(2)正确。 步骤3：对于(3)，$\{n a_n\}$有界，则存在$M>0$使$\displaystyle a_n \leq \frac{M}{n}$，则$\displaystyle a_n^2 \leq \frac{M^2}{n^2}$，由比较法知$\sum a_n^2$收敛，(3)正确。 步骤4：对于(4)，反例：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}$，满足单调递减趋于0，但$\displaystyle \sum \frac{1}{n}$发散，故(4)错误。 综上，正确的是(2)(3)。 **难度**：★★★☆☆