kaoyan1basic 高等数学 第621题
📝 题目
### 第621题 a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\sum a_n$发散推$\sum b_n$发散，需比较判别法条件。 步骤2：选项A：$a_n \leq b_n$，若$a_n$正项，则$b_n$正项且更大，发散可推；但$a_n$可能变号，反例：$a_n=(-1)^n$，$b_n=0$，不满足。 步骤3：选项B：$|a_n| \leq b_n$，则$b_n$为正项，且$\sum |a_n|$发散（因$\sum a_n$发散，但发散不一定绝对发散），若$\sum a_n$发散，则$\sum |a_n|$不一定发散，反例：条件收敛级数，$\sum |a_n|$发散，故由$|a_n| \leq b_n$知$\sum b_n$发散，正确。 步骤4：选项C和D类似，需正项条件，但$b_n$可能变号，不能直接推。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意：由∑a_n发散推∑b_n发散，需比较判别法条件。
分析各选项，寻找能保证∑b_n发散的条件。
提示：注意比较判别法要求正项级数。
步骤 2/5
目标：分析选项A：a_n ≤ b_n。
若a_n正项，则b_n正项且更大，发散可推；但a_n可能变号，反例：a_n=(-1)^n，b_n=0，满足a_n≤b_n，但∑b_n收敛，故A错误。
提示：考虑变号级数反例。
步骤 3/5
目标：分析选项B：|a_n| ≤ b_n。
由|a_n|≤b_n知b_n≥0，即b_n为正项级数。若∑a_n发散，则∑|a_n|不一定发散（如条件收敛），但若∑a_n发散且|a_n|≤b_n，则∑b_n发散（因为∑|a_n|发散，由比较判别法，∑b_n发散）。注意：若∑a_n条件收敛，则∑|a_n|发散，故B正确。
公式：比较判别法：若0≤c_n≤d_n且∑c_n发散，则∑d_n发散。
提示：这里c_n=|a_n|，d_n=b_n。
步骤 4/5
目标：分析选项C：a_n ≤ |b_n|。
a_n可能为负，|b_n|非负，但b_n可能变号，无法保证∑b_n发散。反例：a_n=-1/n，b_n=(-1)^n/n，则a_n≤|b_n|，但∑a_n发散（调和级数），∑b_n条件收敛，故C错误。
提示：注意b_n变号时比较判别法不适用。
步骤 5/5
目标：分析选项D：|a_n| ≤ |b_n|。
b_n可能变号，|b_n|非负，但∑|b_n|发散不一定推出∑b_n发散（如条件收敛）。反例：a_n=(-1)^n/n，b_n=(-1)^n/n，则|a_n|=|b_n|，∑a_n条件收敛，但∑b_n也条件收敛，不满足发散推发散，故D错误。
提示：注意绝对收敛与条件收敛的区别。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。