kaoyan1basic 高等数学 第622题
📝 题目
### 第622题 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：对于(1)，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\sum a_n$条件收敛，但$\displaystyle \sum a_n^2 = \sum \frac{1}{n}$发散，故(1)错误。 步骤2：对于(2)，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\displaystyle b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$，等价无穷小，但$\sum b_n$发散，故(2)错误。 步骤3：对于(3)，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n\ln n}$，$\sum a_n$收敛，但$\displaystyle n a_n = \frac{(-1)^n}{\ln n}$不是无穷小，故(3)错误。 步骤4：对于(4)，由$\sum |b_n|$收敛，$b_n$有界，$|a_n b_n| \leq M|a_n|$，但$\sum a_n$收敛不一定绝对收敛，需用Cauchy不等式：$\sum |a_n b_n| \leq \sqrt{\sum a_n^2 \sum b_n^2}$，但$\sum a_n^2$不一定收敛。实际上，由$\sum a_n$收敛和$\sum |b_n|$收敛，不能保证$\sum |a_n b_n|$收敛，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\displaystyle b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则$\sum a_n$条件收敛，$\sum |b_n|$发散，不满足条件。需构造：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{n}$，则$\sum a_n$收敛，$\sum |b_n|$发散，不满足。正确反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}$，则$\sum a_n$条件收敛，$\sum |b_n|$绝对收敛，但$\displaystyle \sum |a_n b_n| = \sum \frac{1}{n^3}$收敛，故(4)正确。 **难度**：★★★☆☆