kaoyan1basic 高等数学 第624题
📝 题目
### 第624题 设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是 （A）$a \in(0,+\infty)$ ． （B）$a \in(0,1]$ ． （C）$a \in[1,+\infty)$ ． （D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^n}{1+a^n}$，考虑绝对收敛性：$\displaystyle \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^n}{1+a^n} \right| = \frac{1}{n} \cdot \frac{a^n}{1+a^n}$。 步骤2：当$a>1$时，$\displaystyle \frac{a^n}{1+a^n} \to 1$，通项$\displaystyle \sim \frac{1}{n}$，绝对值的级数发散，但原级数为交错级数，且$\displaystyle \frac{a^n}{1+a^n}$单调？需判断条件收敛。 步骤3：当$a=1$时，通项为$\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{1}{2}$，条件收敛。 步骤4：当$0