kaoyan1basic 高等数学 第626题
📝 题目
### 第626题 设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ （A）发散． （B）条件收敛． （C）绝对收敛。 （D）玫散性不能仅由题设条件确定．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：正数列$\{a_n\}$单调减少，且$\sum(-1)^{n-1}a_n$发散，由Leibniz判别法知$a_n$不趋于0，即$\lim a_n = c > 0$。 步骤2：考虑$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$，其绝对值通项为$\displaystyle \left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$。 步骤3：由于$a_n \geq c > 0$，则$\displaystyle \frac{1}{a_n+1} \leq \frac{1}{c+1} < 1$，故$\displaystyle \left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n \leq \left(\frac{1}{c+1}\right)^n$，由几何级数收敛知绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析数列{a_n}的极限
由于正数列{a_n}单调减少，且交错级数∑(-1)^{n-1}a_n发散，根据莱布尼茨判别法，若该交错级数收敛，则a_n单调递减趋于0。现发散，故a_n不趋于0，即存在正数c>0使得lim a_n = c > 0。
提示：莱布尼茨判别法：若a_n单调递减趋于0，则交错级数收敛。反之，若发散，则a_n不趋于0。
步骤 2/4
目标：考虑原级数的绝对值级数
原级数为∑(-1)^{n-1} (1/(a_n+1))^n，其绝对值通项为(1/(a_n+1))^n。
步骤 3/4
目标：估计绝对值通项的上界
由a_n ≥ c > 0，得1/(a_n+1) ≤ 1/(c+1) < 1，因此(1/(a_n+1))^n ≤ (1/(c+1))^n。
提示：利用单调性得到不等式。
步骤 4/4
目标：判断绝对值级数的收敛性
几何级数∑(1/(c+1))^n收敛（公比小于1），由比较判别法，绝对值级数∑(1/(a_n+1))^n收敛，故原级数绝对收敛。
提示：比较判别法：若0≤b_n≤c_n且∑c_n收敛，则∑b_n收敛。
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