kaoyan1basic 高等数学 第627题
📝 题目
### 第627题 在如下四个级数 （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ． （2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ． （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ． 中，条件收敛的级数是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（1），（4）．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：对于(1)，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n}$，由Leibniz判别法，$\displaystyle \frac{\ln n}{n}$递减趋于0，故收敛；绝对值级数$\displaystyle \sum \frac{\ln n}{n}$发散（比较$\displaystyle \frac{1}{n}$），故条件收敛。 步骤2：对于(2)，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\sin n^2)\ln^3 n}{\sqrt[3]{n^4+1}}$，绝对值$\displaystyle \leq \frac{\ln^3 n}{n^{4/3}}$，由p级数知绝对收敛，故非条件收敛。 步骤3：对于(3)，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^n}$，通项不单调，且$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}-(-1)^n} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$，绝对值级数发散，但原级数可能发散，需具体分析，通常发散。 步骤4：对于(4)，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right) = \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \sum \frac{(-1)^n}{n^2}$，前者条件收敛，后者绝对收敛，故整体条件收敛。 综上，条件收敛的是(1)(4)。 **难度**：★★★☆☆