kaoyan1basic 高等数学 第628题
📝 题目
### 第628题 下列四个级数中，发散的级数是 （A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ． （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ． （C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）． （D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：对于A，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln\ln n}}$，令$t=\ln n$，则通项$\displaystyle \sim \frac{1}{t^{\ln t}}$，由积分判别法知收敛。 步骤2：对于B，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^n}$，$\sqrt[n]{n} \to 1$，通项$\displaystyle \sim \frac{1}{2^n}$，收敛。 步骤3：对于C，$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln^\alpha n (\ln\ln n)^\beta}$，$\alpha>1$时由积分判别法知收敛。 步骤4：对于D，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin\left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right)\pi\right] = \sum \sin(n\pi + \frac{\pi}{\ln n}) = \sum (-1)^n \sin\frac{\pi}{\ln n}$，通项$\displaystyle \sim \frac{\pi}{\ln n}$，不趋于0，故发散。 **难度**：★★★☆☆