kaoyan1basic 高等数学 第629题
📝 题目
### 第629题 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由Stirling公式，$\ln(n!) \sim n\ln n - n$，故$\displaystyle \frac{\ln(n!)}{n^p} \sim \frac{n\ln n}{n^p} = \frac{\ln n}{n^{p-1}}$。 步骤2：级数$\displaystyle \sum \frac{\ln n}{n^{p-1}}$收敛当且仅当$p-1 > 1$，即$p>2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简通项
利用Stirling公式：$\ln(n!) \sim n\ln n - n$，因此$\frac{\ln(n!)}{n^p} \sim \frac{n\ln n}{n^p} = \frac{\ln n}{n^{p-1}}$。
公式：$\ln(n!) \sim n\ln n - n$
提示：Stirling公式用于处理阶乘的对数，注意忽略低阶项不影响收敛性。
步骤 2/2
目标：判断级数收敛性
级数$\sum \frac{\ln n}{n^{p-1}}$是p-级数的对数修正形式，其收敛当且仅当指数$p-1 > 1$，即$p > 2$。
公式：$\sum \frac{\ln n}{n^{\alpha}}$收敛当且仅当$\alpha > 1$
提示：对于$\sum \frac{\ln n}{n^\alpha}$，当$\alpha>1$时收敛，$\alpha\leq1$时发散。
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