kaoyan1basic 高等数学 第630题
📝 题目
### 第630题 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛。 （D）敛散性与 $a$ 有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=a>0$，知$f(0)=0$，且$f(x) \sim a x$，故$\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{a}{n}$。 步骤2：级数$\displaystyle \sum(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$，通项绝对值$\displaystyle \sim \frac{a}{n}$，绝对值级数发散。 步骤3：由Leibniz判别法，需$\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)$单调递减趋于0，由$f$连续可导，$f'(0)=a>0$，则$f(x)$在0附近单调增，故$f(1/n)$递减，原级数条件收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析f(x)在x=0处的性质
由极限条件lim_{x→0} f(x)/x = a > 0，可知f(0)=0，且f(x) ~ a x (x→0)。因此f(1/n) ~ a/n。
公式：f(x) ~ a x
提示：利用极限定义得到等价无穷小关系。
步骤 2/3
目标：判断绝对值级数的敛散性
考虑∑|(-1)^n f(1/n)| = ∑ f(1/n)。由于f(1/n) ~ a/n，而∑ a/n发散，故绝对值级数发散。
公式：∑ f(1/n) 发散（比较判别法）
提示：注意a>0，所以与调和级数比较。
步骤 3/3
目标：判断原级数是否条件收敛
使用莱布尼茨判别法。需验证f(1/n)单调递减趋于0。由f'(0)=a>0及f连续可导，存在δ>0使得在(0,δ)上f'(x)>0，故f(x)单调增，从而f(1/n)单调递减。又f(1/n)→0，因此原级数收敛。综合得条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法
提示：单调性由导数符号保证。
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