kaoyan1basic 高等数学 第631题
📝 题目
### 第631题 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\sum a_n x^n$收敛域为$(-8,8]$，则收敛半径$R=8$，且$x=8$时收敛，$x=-8$时发散。 步骤2：$\displaystyle \sum \frac{a_n x^n}{n(n-1)}$，由逐项积分性质，收敛半径不变，仍为8。 步骤3：$\sum a_n x^{3n}$，令$t=x^3$，则收敛域由$t\in(-8,8]$得$x\in(-2,2]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原级数的收敛半径和端点收敛性
已知∑ a_n x^n的收敛域为(-8,8]，则收敛半径R=8，且x=8时级数收敛，x=-8时级数发散。
提示：收敛域包括端点时，需单独判断端点收敛性。
步骤 2/3
目标：求∑ a_n x^n / [n(n-1)]的收敛半径
由逐项积分性质，对幂级数逐项积分或微分不改变收敛半径，因此该级数的收敛半径仍为8。
提示：注意逐项积分后端点收敛性可能改变，但本题只求收敛半径，故无需考虑端点。
步骤 3/3
目标：求∑ a_n x^(3n)的收敛域
令t=x^3，则级数化为∑ a_n t^n，其收敛域为t∈(-8,8]。由t=x^3得x∈(-2,2]。当x=2时，t=8，原级数收敛；当x=-2时，t=-8，原级数发散，故收敛域为(-2,2]。
公式：t = x^3
提示：注意开三次方时，定义域为全体实数，但端点需单独判断。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。