kaoyan1basic 高等数学 第632题
📝 题目
### 第632题 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． ## $\sigma^{\circ}$
纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，$|x|<1$。 步骤2：则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$，令$\displaystyle x=-\frac{1}{3}$，得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{-1/3}{(1+1/3)^2} = -\frac{3}{16}$。 步骤3：原级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^n} = -\sum_{n=1}^{\infty} n\left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{16}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用已知幂级数求和公式
考虑幂级数 ∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = 1/(1-x)^2，|x|<1。
公式：∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = 1/(1-x)^2
提示：这是常用幂级数展开式，需牢记。
步骤 2/4
目标：转化为所需形式
两边乘以x得：∑_{n=1}^∞ n x^n = x/(1-x)^2。
公式：∑_{n=1}^∞ n x^n = x/(1-x)^2
提示：注意x的幂次与系数n对应。
步骤 3/4
目标：代入x值
令 x = -1/3，则 ∑_{n=1}^∞ n (-1/3)^n = (-1/3) / (1+1/3)^2 = (-1/3) / (16/9) = -3/16。
公式：∑_{n=1}^∞ n (-1/3)^n = -3/16
提示：计算时注意分母(1-x)^2，x=-1/3时1-x=4/3。
步骤 4/4
目标：得到原级数和
原级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} n/3^n = -∑_{n=1}^∞ n (-1/3)^n = -(-3/16) = 3/16。
公式：S = 3/16
提示：注意(-1)^{n-1} = -(-1)^n，因此原级数等于负的∑ n (-1/3)^n。
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