kaoyan1basic 高等数学 第634题
📝 题目
### 第634题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$，$x\neq0$，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$，由$\cos x$的Taylor展开：$\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$。 步骤2：则$\displaystyle 1-\cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots$。 步骤3：$f(x)$的Taylor级数为$\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \frac{x^4}{720} - \cdots$，$x^6$项系数为$\displaystyle -\frac{1}{8!} = -\frac{1}{40320}$，故$\displaystyle f^{(6)}(0) = 6! \times \left(-\frac{1}{40320}\right) = -\frac{720}{40320} = -\frac{1}{56}$。 **难度**：★★★☆☆