kaoyan1basic 高等数学 第635题
📝 题目
### 第635题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ x-1, & \frac{1}{2}
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$b_n$定义知$S(x)$是$f(x)$在$[0,1]$上作奇延拓后的傅里叶正弦级数，周期为2。 步骤2：计算$\displaystyle S\left(-\frac{5}{2}\right)$。由于周期为2，$\displaystyle S\left(-\frac{5}{2}\right)=S\left(-\frac{5}{2}+2\right)=S\left(-\frac{1}{2}\right)$。 步骤3：奇延拓后，$\displaystyle S\left(-\frac{1}{2}\right)=-S\left(\frac{1}{2}\right)$。 步骤4：$f(x)$在$\displaystyle x=\frac{1}{2}$处有跳跃间断，傅里叶级数收敛于左右极限平均值：$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}^-\right)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}^+\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，平均值为$\displaystyle \frac{1}{2}$。故$\displaystyle S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。 步骤5：因此$\displaystyle S\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆