kaoyan1basic 高等数学 第641题
📝 题目
### 第641题 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$. （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$. （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\Omega_1$是上半球体，$\Omega_2$是第一卦限内的八分之一球体。 步骤2：被积函数$z$关于$x,y$为偶函数，且区域对称，$\iiint_{\Omega_1}z\mathrm{d}v=4\iiint_{\Omega_2}z\mathrm{d}v$。 步骤3：$x$和$y$在$\Omega_1$中关于$yOz$或$xOz$平面为奇函数，积分值为0，而$\Omega_2$中不为0，故A、B错误。 步骤4：$xyz$在$\Omega_1$中关于$x$为奇函数，积分值为0，而$\Omega_2$中不为0，故D错误。 **难度**：★★☆☆☆