kaoyan1basic 高等数学 第642题
📝 题目
### 第642题 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的区域，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$. （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：区域$\Omega$由$z=x^2+y^2$、$y=x$、$y=0$、$z=1$围成，第一卦限内$x\ge0,y\ge0$。 步骤2：投影到$xy$平面：$y$从$0$到$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$（由$y=x$与$x^2+y^2=1$交线得$x=y$，代入$z=1$得$2y^2=1$），$x$从$y$到$\sqrt{1-y^2}$。 步骤3：$z$从下曲面$z=x^2+y^2$到上平面$z=1$。 步骤4：积分次序为$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y\int_y^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x\int_{x^2+y^2}^1 f(x,y,z)\mathrm{d}z$。 **难度**：★★★☆☆