kaoyan1basic 高等数学 第643题
📝 题目
### 第643题 设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，区域 $\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于 （A）$\pi f^{\prime}(0)$ ． （B）$\pi f(0)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：用柱坐标，$\iiint_{\Omega}f(x^2+y^2)\mathrm{d}v=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^t r\mathrm{d}r\int_0^1 f(r^2)\mathrm{d}z=2\pi\int_0^t r f(r^2)\mathrm{d}r$。 步骤2：令$u=r^2$，则$\mathrm{d}u=2r\mathrm{d}r$，积分变为$\pi\int_0^{t^2}f(u)\mathrm{d}u$。 步骤3：原极限$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{1}{t^4}\cdot\pi\int_0^{t^2}f(u)\mathrm{d}u$，令$s=t^2$，则$\displaystyle \lim_{s\to0^+}\frac{\pi\int_0^s f(u)\mathrm{d}u}{s^2}$。 步骤4：由洛必达法则，$\displaystyle \lim_{s\to0^+}\frac{\pi f(s)}{2s}=\frac{\pi}{2}f'(0)$。 **难度**：★★★☆☆