kaoyan1basic 高等数学 第644题
📝 题目
### 第644题 下列结论 （1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ． （2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ． （3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ． （4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ． 中正确的条数为 （A） 1 条。 （B） 2 条． （C） 3 条． （D） 4 条．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：(1)正确：$\oint_{x^2+y^2=a^2}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=a^2\cdot 2\pi a=2\pi a^3$。 步骤2：(2)错误：$x^2+y^2$在圆内不是常数，不能直接提出，正确值为$\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a r^2\cdot r\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{a^4}{4}=\frac{\pi a^4}{2}$。 步骤3：(3)正确：球面上$x^2+y^2+z^2=a^2$，提出后面积为$4\pi a^2$，得$4\pi a^4$。 步骤4：(4)错误：球体内$x^2+y^2+z^2$不是常数，正确值为$\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^\pi\mathrm{d}\phi\int_0^a r^2\cdot r^2\sin\phi\mathrm{d}r=\frac{4\pi a^5}{5}$。 步骤5：正确的有2条。 **难度**：★★☆☆☆