kaoyan1basic 高等数学 第645题
📝 题目
### 第645题 设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则 （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由格林公式，$\displaystyle I_k=\iint_{D_k}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$，其中$P=3yx^2+y^3$，$Q=3x+y$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=3$，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3x^2+3y^2$，差值为$3-3(x^2+y^2)$。 步骤3：$I_k=\iint_{D_k}(3-3(x^2+y^2))\mathrm{d}\sigma=3\iint_{D_k}(1-(x^2+y^2))\mathrm{d}\sigma$。 步骤4：$D_1:x^2+y^2\le1$，$\displaystyle D_2:\frac{x^2}{2}+y^2\le1$，$D_3:x^2+y^2\le2$。比较被积函数正负：$D_1$内$1-(x^2+y^2)\ge0$，$D_2$部分区域大于1，$D_3$内大部分区域小于0。 步骤5：计算得$I_1>0$，$I_2$最大（因椭圆内$1-(x^2+y^2)$正面积大），$I_3<0$，故$I_2>I_1>I_3$。 **难度**：★★★☆☆