kaoyan1basic 高等数学 第646题
📝 题目
### 第646题 设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于 （A）$(a+b) l$ ． （B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ． （C）$a^{2} b^{2} l$ ． （D）$a b l$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：展开$(bx+ay)^2=b^2x^2+2abxy+a^2y^2$。 步骤2：由于椭圆关于$x,y$轴对称，$xy$为奇函数，$\oint_L xy\mathrm{d}s=0$。 步骤3：由对称性，$\oint_L x^2\mathrm{d}s=\oint_L y^2\mathrm{d}s$，且$\oint_L (x^2+y^2)\mathrm{d}s$不是常数，但利用椭圆参数方程或已知结论：$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{2}l$？需谨慎。 步骤4：实际上，由$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，有$\oint_L (b^2x^2+a^2y^2)\mathrm{d}s$，利用对称性，$\displaystyle \oint_L x^2\mathrm{d}s=\frac{a^2}{a^2+b^2}\oint_L (x^2+y^2)\mathrm{d}s$？更简单：直接计算$\oint_L (bx+ay)^2\mathrm{d}s=\oint_L (b^2x^2+a^2y^2)\mathrm{d}s$，由于椭圆上$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则$\displaystyle b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)=a^2b^2$，故积分值为$a^2b^2l$。 **难度**：★★★☆☆