kaoyan1basic 高等数学 第647题
📝 题目
### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：正方形边界由四条线段组成：$AB:y=1-x,0\le x\le1$；$BC:y=1+x,-1\le x\le0$；$CD:y=-1-x,-1\le x\le0$；$DA:y=x-1,0\le x\le1$。 步骤2：在边界上$|x|+|y|=1$（因为顶点坐标绝对值和为1，线段上点满足$|x|+|y|=1$）。 步骤3：被积函数简化为$x+y+1$。 步骤4：分段积分：$AB$上$y=1-x$，$\mathrm{d}s=\sqrt{2}\mathrm{d}x$，$\int_{AB}(x+1-x+1)\sqrt{2}\mathrm{d}x=\int_0^1 2\sqrt{2}\mathrm{d}x=2\sqrt{2}$；同理其他三段各得$2\sqrt{2}$，总和$8\sqrt{2}$？ 步骤5：注意$AB$上$x+y+1=2$，弧长$\sqrt{2}$，积分为$2\sqrt{2}$；$BC$上$x+y+1=0$，积分为0；$CD$上$x+y+1=-2$，弧长$\sqrt{2}$，积分为$-2\sqrt{2}$；$DA$上$x+y+1=0$，积分为0。总和为0？ 步骤6：重新计算：$AB:y=1-x,0\le x\le1$，$x+y+1=2$，$\mathrm{d}s=\sqrt{2}\mathrm{d}x$，积分$2\sqrt{2}$；$BC:y=1+x,-1\le x\le0$，$x+y+1=2x+2$，积分$\int_{-1}^0 (2x+2)\sqrt{2}\mathrm{d}x=\sqrt{2}[x^2+2x]_{-1}^0=\sqrt{2}(0-(1-2))=\sqrt{2}$；$CD:y=-1-x,-1\le x\le0$，$x+y+1=0$，积分0；$DA:y=x-1,0\le x\le1$，$x+y+1=2x$，积分$\int_0^1 2x\sqrt{2}\mathrm{d}x=\sqrt{2}$。总和$2\sqrt{2}+\sqrt{2}+0+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。 **难度**：★★★☆☆